勾股定理的證明方法
勾股定理的證明方法。
這種證明方法由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，它在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。
的平方=3的平方+4的平方
在圖一中，D ABC 為一直角三角形，其中 A 為直角。我們在邊 AB、BC 和 AC 之上分別畫上三個正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。過 A 點畫一直線 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L，交 BC 於 M。不難證明，D FBC 全等於 D ABD(S.A.S.)。所以正方形 ABFG 的面積 = 2 D FBC 的面積 = 2 D ABD 的面積 = 長方形 BMLD 的面積。類似地，正方形 ACKH 的面積 = 長方形 MCEL 的面積。即正方形 BCED 的面積 = 正方形 ABFG 的面積 + 正方形 ACKH 的面積，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。由此證實了勾股定理。
這個證明巧妙地運用了全等三角形和三角形面積與長方形面積的關(guān)系來進(jìn)行。不單如此，它更具體地解釋了，「兩條直角邊邊長平方之和」的幾何意義，這就是以 ML 將正方形分成 BMLD 和 MCEL 的兩個部分!
這個證明的另一個重要意義，是在於它的出處。這個證明是出自古希臘大數(shù)學(xué)歐幾里得之手。
歐幾里得(Euclid of Alexandria)約生於公元前 325 年，卒於約公元前 265 年。他曾經(jīng)在古希臘的文化中心亞歷山大城工作，并完成了著作《幾何原本》。《幾何原本》是一部劃時代的著作，它收集了過去人類對數(shù)學(xué)的知識，并利用公理法建立起演繹體系，對后世數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。而書中的第一卷命題 47，就記載著以上的一個對勾股定理的證明。
圖二中，我們將4個大小相同的直角三角形放在一個大正方形之內(nèi)，留意大正方形中間的淺黃色部分，亦都是一個正方形。設(shè)直角三角形的斜邊長度為 c，其余兩邊的長度為 a 和 b，則由於大正方形的面積應(yīng)該等於 4 個直角三角形和中間淺黃色正方形的面積之和，所以我們有
(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2
展開得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
化簡得 a2 + b2 = c2
由此得知勾股定理成立。
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